Álgebra lineal Ejemplos

$[\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}]$

Paso 1

Establece la fórmula para obtener la ecuación característica $p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$

Paso 2

La matriz de identidades o matriz unidad de tamaño $2$ es la matriz cuadrada $2 \times 2$ con unos en la diagonal principal y ceros en los otros lugares.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Paso 3

Sustituye los valores conocidos en $p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$ .

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Paso 3.1

Sustituye $[\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}]$ por $A$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] - λ I_{2})$

Paso 3.2

Sustituye $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ por $I_{2}$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Multiplica $- λ$ por cada elemento de la matriz.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 4.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.2

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.2.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.2.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.3

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.3.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.3.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Paso 4.2

Suma los elementos correspondientes.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 0 - λ & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Paso 4.3

Simplify each element.

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Paso 4.3.1

Resta $λ$ de $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - λ & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.2

Suma $1$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - λ & 1 \\ - 1 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.3

Suma $- 1$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - λ & 1 \\ - 1 & 0 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.4

Resta $λ$ de $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - λ & 1 \\ - 1 & - λ \end{array}]$

Paso 5

Find the determinant.

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Paso 5.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = - λ (- λ) - (- 1 \cdot 1)$

Paso 5.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$p (λ) = - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 1 \cdot 1)$

Paso 5.2.2

Multiplica $λ$ por $λ$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.2.1

Mueve $λ$ .

$p (λ) = - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 1 \cdot 1)$

Paso 5.2.2.2

Multiplica $λ$ por $λ$ .

$p (λ) = - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 1)$

Paso 5.2.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$p (λ) = 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 1)$

Paso 5.2.4

Multiplica $λ^{2}$ por $1$ .

$p (λ) = λ^{2} - (- 1 \cdot 1)$

Paso 5.2.5

Multiplica $- (- 1 \cdot 1)$ .

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Paso 5.2.5.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = λ^{2} - - 1$

Paso 5.2.5.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$p (λ) = λ^{2} + 1$

Paso 6

Establece el polinomio característico igual a $0$ para obtener los valores propios $λ$ .

$λ^{2} + 1 = 0$

Paso 7

Resuelve $λ$

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Paso 7.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$λ^{2} = - 1$

Paso 7.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$λ = \pm \sqrt{- 1}$

Paso 7.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$λ = \pm i$

Paso 7.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 7.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$λ = i$

Paso 7.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$λ = - i$

Paso 7.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$λ = i, - i$