Álgebra lineal Ejemplos

[\begin{matrix} 0 & 1 - 1 & 0 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}]$

Paso 1

Establece la fórmula para obtener la ecuación característica

p (λ)

$p (λ)$ .

p (λ) = determinante (A - λ I_{2})

$p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$

Paso 2

La matriz de identidades o matriz unidad de tamaño

2

$2$ es la matriz cuadrada

2 \times 2

$2 \times 2$ con unos en la diagonal principal y ceros en los otros lugares.

[\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Paso 3

Sustituye los valores conocidos en

p (λ) = determinante (A - λ I_{2})

$p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$ .

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Paso 3.1

Sustituye

[\begin{matrix} 0 & 1 - 1 & 0 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}]$ por

A

$A$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 0 & 1 - 1 & 0 \end{matrix}] - λ I_{2})

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] - λ I_{2})$

Paso 3.2

Sustituye

[\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ por

I_{2}

$I_{2}$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 0 & 1 - 1 & 0 \end{matrix}] - λ [\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 0 & 1 - 1 & 0 \end{matrix}] - λ [\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Multiplica

- λ

$- λ$ por cada elemento de la matriz.

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 0 & 1 - 1 & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 4.1.2.1

Multiplica

- 1

$- 1$ por

1

$1$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 0 & 1 - 1 & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.2

Multiplica

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.2.1

Multiplica

0

$0$ por

- 1

$- 1$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 0 & 1 - 1 & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 λ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.2.2

Multiplica

0

$0$ por

λ

$λ$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 0 & 1 - 1 & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 0 & 1 - 1 & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.3

Multiplica

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.3.1

Multiplica

0

$0$ por

- 1

$- 1$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 0 & 1 - 1 & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 λ & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.3.2

Multiplica

0

$0$ por

λ

$λ$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 0 & 1 - 1 & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 0 & 1 - 1 & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.4

Multiplica

- 1

$- 1$ por

1

$1$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 0 & 1 - 1 & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 & - λ \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 0 & 1 - 1 & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 & - λ \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 0 & 1 - 1 & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 & - λ \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Paso 4.2

Suma los elementos correspondientes.

p (λ) = determinante [\begin{matrix} 0 - λ & 1 + 0 - 1 + 0 & 0 - λ \end{matrix}]

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 0 - λ & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Paso 4.3

Simplify each element.

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Paso 4.3.1

Resta

λ

$λ$ de

0

$0$ .

p (λ) = determinante [\begin{matrix} - λ & 1 + 0 - 1 + 0 & 0 - λ \end{matrix}]

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - λ & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.2

Suma

1

$1$ y

0

$0$ .

p (λ) = determinante [\begin{matrix} - λ & 1 - 1 + 0 & 0 - λ \end{matrix}]

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - λ & 1 \\ - 1 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.3

Suma

- 1

$- 1$ y

0

$0$ .

p (λ) = determinante [\begin{matrix} - λ & 1 - 1 & 0 - λ \end{matrix}]

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - λ & 1 \\ - 1 & 0 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.4

Resta

λ

$λ$ de

0

$0$ .

p (λ) = determinante [\begin{matrix} - λ & 1 - 1 & - λ \end{matrix}]

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - λ & 1 \\ - 1 & - λ \end{array}]$

p (λ) = determinante [\begin{matrix} - λ & 1 - 1 & - λ \end{matrix}]

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - λ & 1 \\ - 1 & - λ \end{array}]$

p (λ) = determinante [\begin{matrix} - λ & 1 - 1 & - λ \end{matrix}]

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - λ & 1 \\ - 1 & - λ \end{array}]$

Paso 5

Find the determinant.

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Paso 5.1

El determinante de una matriz

2 \times 2

$2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

p (λ) = - λ (- λ) - (- 1 \cdot 1)

$p (λ) = - λ (- λ) - (- 1 \cdot 1)$

Paso 5.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

p (λ) = - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 1 \cdot 1)

$p (λ) = - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 1 \cdot 1)$

Paso 5.2.2

Multiplica

λ

$λ$ por

λ

$λ$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.2.1

Mueve

λ

$λ$ .

p (λ) = - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 1 \cdot 1)

$p (λ) = - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 1 \cdot 1)$

Paso 5.2.2.2

Multiplica

λ

$λ$ por

λ

$λ$ .

p (λ) = - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 1)

$p (λ) = - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 1)$

p (λ) = - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 1)

$p (λ) = - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 1)$

Paso 5.2.3

Multiplica

- 1

$- 1$ por

- 1

$- 1$ .

p (λ) = 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 1)

$p (λ) = 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 1)$

Paso 5.2.4

Multiplica

λ^{2}

$λ^{2}$ por

1

$1$ .

p (λ) = λ^{2} - (- 1 \cdot 1)

$p (λ) = λ^{2} - (- 1 \cdot 1)$

Paso 5.2.5

Multiplica

- (- 1 \cdot 1)

$- (- 1 \cdot 1)$ .

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Paso 5.2.5.1

Multiplica

- 1

$- 1$ por

1

$1$ .

p (λ) = λ^{2} - - 1

$p (λ) = λ^{2} - - 1$

Paso 5.2.5.2

Multiplica

- 1

$- 1$ por

- 1

$- 1$ .

$p (λ) = λ^{2} + 1$

Paso 6

Establece el polinomio característico igual a

$0$ para obtener los valores propios

$λ$ .

$λ^{2} + 1 = 0$

Paso 7

Resuelve

$λ$

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Paso 7.1

Resta

$1$ de ambos lados de la ecuación.

$λ^{2} = - 1$

Paso 7.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$λ = \pm \sqrt{- 1}$

Paso 7.3

Reescribe

$\sqrt{- 1}$ como

$i$ .

$λ = \pm i$

Paso 7.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 7.4.1

Primero, usa el valor positivo de

$\pm$ para obtener la primera solución.

$λ = i$

Paso 7.4.2

Luego, usa el valor negativo de

$\pm$ para obtener la segunda solución.

$λ = - i$

Paso 7.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$λ = i, - i$